Question

已知函数

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数的最大值.

Answer

（1）；（2）；（3）0.

【解析】

试题分析：（1）先求导数，因为为的极值点，所以，所以得出；（2）因为在区间 上为增函数，所以恒成立，通过对和进行讨论；（3）将代入方程，得到，所以本题转化成与的交点问题，所以通过求导判断函数的单调性，画出函数的图像，得到的取值范围.

试题解析：(1)【解析】
          1分

因为为的极值点，所以         2分

即，解得：           3分

又当时，，从而为的极值点成立．          4分

(2)【解析】
∵在区间 上为增函数，

∴在区间 上恒成立．         5分

①当时，在 上恒成立，所以在 上为增函数，

故符合题意．          6分

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，

所以在区间 上恒成立．       7分

令，其对称轴为           8分

∵，∴，从而在 上恒成立，只要即可，

由，解得：     9分

∵，∴．综上所述，的取值范围为        10分

(3)【解析】
时，方程可化为，．

问题转化为在 上有解                                11分

令，则                    12分

当时，，∴在上为增函数

当时，，∴在上为减函数

故，而，故，即实数的最大值是0．      14分

考点：1.用导数求极值；2.用导数判断单调性.