Question

设函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）在（2）的条件下，设函数，若对于[1，2]，[0，1]，使成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）在处的切线方程为；（2）函数的单调增区间为;单调减区间为；（3）.

【解析】

试题分析：（1）首先求函数的定义域，利用导数的几何意义求得在处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求得在处的切线方程；（2）分别解不等式可得函数的单调递增区间、单调递减区间；（3）由已知“对于[1，2]，使≥成立”在上的最小值不大于在上的最小值，先分别求函数，的最小值，最后解不等式得实数的取值范围．

试题解析：函数的定义域为，                       1分

                                  2分

（1）当时，，，        3分

，

，                                            4分

在处的切线方程为.                     5分

(2).                 

当,或时, ;                              6分

当时, .                                         7分

当时，函数的单调增区间为;单调减区间为.   8分

(如果把单调减区间写为,该步骤不得分)

（3）当时，由（2）可知函数在上为增函数，

∴函数在[1，2]上的最小值为                  9分

若对于[1，2]，使     ≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）                         10分

又，

当时，在上为增函数，

与（*）矛盾                      11分

当时，，由及

得，                                             12分

③当时，在上为减函数，

及得.                                                 13分

综上，的取值范围是                               14分

考点：1、导数的几何意义；2、应用导数求函数的单调区间；3、应用导数解决含参数不等式的参数取值范围问题．