Question

如图，菱形的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用三角形的中位线平行于相应的底边证明，然后结合直线与平面平行的判定定理即可证明平面；（2）先利用翻折时与的相对位置不变证明，然后利用勾股定理证明，并结合直线与平面垂直的判定定理先证明平面，最终利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用（2）中的结论平面，利用等体积法将三棱锥的体积转化为以点为顶点，所在平面为底面的三棱锥的体积来计算，则三棱锥的高为，的面积为底面积，然后利用锥体的体积公式即可计算三棱锥的体积，在计算的面积时，首先应确定的形状，然后选择合适的公式计算计算的面积.

试题解析：（1）因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以.

因为平面ABD，平面ABD，所以平面.

（2）因为在菱形ABCD中，，所以在三棱锥中，.

在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因为O为BD的中点，

所以.因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以.

因为，所以，即.

因为平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.

因为平面DOM，所以平面平面.

（3）由（2）得，平面BOM，所以是三棱锥的高.

因为，，

所以.

考点：直线与平面平行、平面与平面平行、等体积法