Question

已知双曲线经过点，且双曲线的渐近线与圆相切.

（1）求双曲线的方程；

（2）设是双曲线的右焦点，是双曲线的右支上的任意一点，试判断以为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.

Answer

（1）；（2）外切.

【解析】

试题分析：（1）利用“点在双曲线上”以及“双曲线的渐近线与圆”这两个条件列两个方程，求解与，进而确定双曲线的方程；（2）根据圆与圆的位置关系的判断方法，考查两圆连心线的长度与两圆半径之间的相互关系，同时注意将点与左焦点连接起来，注意到两圆圆心分别为与的中点，利用中位线以及双曲线的定义确定两圆半径与连心线长度之间的关系，进而确定两圆的位置关系.

试题解析：（1）因为双曲线经过点，所以①.

因为双曲线的的渐近线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于2，

即，整理得②.

联立①与②，解得所以双曲线的方程为．

（2）由（1）得，，所以双曲线的右焦点为.

设双曲线的左焦点为，因为点在双曲线的右支上，

所以，即，

所以.

因为以双曲线的实轴为直径的圆的圆心为，半径为；

以为直径的圆的圆心为，半径为，

所以两圆圆心之间的距离为.

因为，

所以以为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切.

考点：双曲线、点到直线的距离、两圆的位置关系