Question

已知函数.

（1）试问的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

（2）定义，其中，求；

（3）在（2）的条件下，令.若不等式对且恒成立，求实数的取值范围.

Answer

【解析】

试题分析：（1）根据函数解析式的特点直接代入计算的值；（2）利用（1）中条件的条件，并注意到定义中第项与倒数第项的和这一条件，并利用倒序相加法即可求出的表达式，进而可以求出的值；（3）先利用和之间的关系求出数列的通项公式，然后在不等式中将与含的代数式进行分离，转化为恒成立的问题进行处理，最终利用导数或作差（商）法，通过利用数列的单调性求出的最小值，最终求出实数的取值范围.

试题解析：（1）的值为定值2.

证明如下：

.

（2）由（1）得.

令，则.

因为①，

所以②，

由①+②得，所以.

所以.

（3）由（2）得，所以.

因为当且时，

.

所以当且时，不等式恒成立.

设，则.

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

因为，所以，

所以当且时，.

由，得，解得.

所以实数的取值范围是.

考点：函数、倒序相加法、导数