Question

如图，菱形的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用三角形的中位线平行于相应的底边证明，然后结合直线与平面平行的判定定理即可证明平面；（2）先利用翻折时与的相对位置不变证明，然后利用勾股定理证明，并结合直线与平面垂直的判定定理先证明平面，最终利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）作，连接，利用（2）中的结论平面，先证明平面，进而说明为二面角的平面角，然后在中计算，即可计算二面角的余弦值.

试题解析：（1）因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以.

因为平面ABD，平面ABD，所以平面.

（2）因为在菱形ABCD中，，所以在三棱锥中，.

在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因为O为BD的中点，

所以.因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以.

因为，所以，即.

因为平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.

因为平面DOM，所以平面平面.

（3）作于，连结DE.由（2）知，平面ABC，所以AB.

因为，所以平面ODE.因为平面ODE，所以.

所以是二面角的平面角.

在Rt△DOE中，，，，

所以.所以二面角的余弦值为.

考点：直线与平面平行、平面与平面平行、二面角