Question

已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与的大小，并予以证明.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）由于数列的递推式的结构为，在求数列的通项的时候可以利用累加法来求数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，根据其通项结构选择错位相减法求出数列的前项和，在比较与的大小时，一般利用作差法，通过差的正负确定与的大小，在确定差的正负时，可以利用数学归纳法结合二项式定理进行放缩来达到证明不等式的目的.

试题解析：（1）当时，

.

又也适合上式，所以.

（2）由（1）得，所以.

因为①，所以②.

由①－②得，，

所以.

因为，

所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.

当时，；当时，；

当时，；当时，；……，

可猜想当时，.

证明如下：当时，

.

综上所述，当或时，；当时，.

考点：累加法、错位相减法、二项式定理