Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆 上任意一点，且的最小值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点，当为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积.

Answer

（1）；（2）当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.

【解析】

试题分析：（1）由于（定值）这个条件并结合余弦定理以及的最小值为这个条件可以求出的值，并由已知条件中的值可以求出，并最终求出椭圆的方程；（2）先设出、、、中其中一个点的坐标，然后根据这四点之间的相互对称性将四边形的面积用该点的坐标进行表示，结合这一条件将面积转化为其中一个变量的二次函数，利用二次函数的求最值的思想求出四边形面积的最大值，并可以求出对应的值.

试题解析：（1）因为P是椭圆上一点，所以.

在△中，，由余弦定理得

.

因为，当且仅当时等号成立.

因为，所以.

因为的最小值为，所以，解得.

又，所以.所以椭圆C的方程为.

（2）设，则矩形ABCD的面积.

因为，所以.

所以.

因为且，所以当时，取得最大值24.

此时，.

所以当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.

考点：椭圆的定义、余弦定理、二次函数