Question

已知函数.

（1）是否存在点，使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（2）定义，其中，求；

（3）在（2）的条件下，令，若不等式对且恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）存在，且点的坐标为；（2）；（3）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）先假设点的坐标，根据图象对称的定义列式求出点的坐标即可；（2）利用（1）中条件的条件，并注意到定义中第项与倒数第项的和这一条件，并利用倒序相加法即可求出的表达式，进而可以求出的值；（3）先利用和之间的关系求出数列的通项公式，然后在不等式中将与含的代数式进行分离，转化为恒成立的问题进行处理，最终利用导数或作差（商）法，通过利用数列的单调性求出的最小值，最终求出实数的取值范围.

试题解析：（1）假设存在点，使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上，则函数图像的对称中心为.

由，得，

即对恒成立，所以解得

所以存在点，使得函数的图像上任意一点关于点M对称的点也在函数的图像上.

（2）由（1）得.

令，则.

因为①，

所以②，

由①+②得，所以.

所以.

（3）由（2）得，所以.

因为当且时，.

所以当且时，不等式恒成立.

设，则.

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

因为，所以，

所以当且时，.

由，得，解得.

所以实数的取值范围是.

考点：函数的对称性、倒序相加法、导数