Question

如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，．

（1）证明：平面；

（2）若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．

Answer

（1）见解析.（2）当点为棱的中点时，平面．证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）要证明线面垂直，须证明直线与平面内的两条相交直线都垂直，一般要遵循“先找再作”的原则，对图形进行细致分析是关键.注意到，得到．

由侧棱底面，得到．从而得到平面．，

利用，得到．结合四边形为正方形．

得到．推出平面．

（2）对于这类存在性问题，往往是先通过对图形的分析，找“特殊点”，肯定其存在性，再加以证明.

注意到当点为棱的中点时，取的中点，连、、，利用三角形相似，得到平面及平面，利用平面平面．推出平面．

试题解析：（1）∵，∴．

∵侧棱底面，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴，

∵，则．                                      4分

在中，，，∴．

∵，∴四边形为正方形．

∴．                                                   6分

∵，∴平面．                            7分

（2）当点为棱的中点时，平面．                   9分

证明如下：

如图，取的中点，连、、，

∵、、分别为、、的中点，

∴．

∵平面，平面，

∴平面．                  11分

同理可证平面．                    12分

∵，

∴平面平面．                    13分

∵平面，

∴平面．                           14分

考点：立体几何的平行关系与垂直关系