Question

抛物线与直线相切，是抛物线上两个动点，为抛物线的焦点，的垂直平分线与轴交于点，且.

（1）求的值;

（2）求点的坐标;

（3）求直线的斜率的取值范围.

Answer

（1）.（2）点的坐标为.（3）.

【解析】

试题分析：（1）将抛物线与直线联立，消元后得到有两个相等实根，由求得.

（2）利用，抛物线的准线且，结合定义可得.

由在的垂直平分线上，得到，可以建立横坐标的方程，通过解方程得到解题目的.

（3）点在抛物线的内部，应有，设直线方程后，据此可建立

的不等式，进一步确定的取值范围为.

试题解析：

（1）由 得：有两个相等实根     1分

即  得：为所求                      3分

（2）抛物线的准线且，

由定义得，则              5分

设，由在的垂直平分线上，从而     6分

则

                                   8分

因为，所以

又因为，所以，则点的坐标为                  10分

（3）设的中点，有                      11分

设直线方程过点，得                   12分

又因为点在抛物线的内部，则               13分

得： ，则

又因为，则

故的取值范围为                                 14分

考点：抛物线的定义，中点坐标公式，直线与抛物线的位置关系.