Question

已知函数满足，且 在上恒成立.

(1)求的值；

(2)若,解不等式；

(3)是否存在实数，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），；（2）当，，当；（3）当时，在上有最小值－5.

【解析】

试题分析：本题考查计算能力和分类讨论的数学思想.（1）求函数的导数，由二次函数知识求恒成立问题；（2）求导，化为时，对b的值分类讨论，分别求解；（3）对函数求导后，其导函数是一个二次函数，根据对轴称与区间的关系来分类讨论.

试题解析：（1）；

恒成立；

即恒成立；

显然时，上式不能恒成立；

∴，由于对一切则有：

，即，解得：；

∴，.

（2）  

由得：；

即，即 ；

∴当，

，

当.

（3）假设存在实数使函数在区间 上有最小值－5.

图象开口向上且对称轴为

①当，此时函数在区间上是递增的；

解得与矛盾；

②当，此时函数在区间上是递减的，而在区间上是递增的，

即

解得；

.

③当，此时函数在区间上递减的；

,即

解得,满足

综上知：当时，在上有最小值－5.

考点：1、函数的导数及其应用；2、二次函数的图象及其性质；3、分类讨论的数学思想.