Question

在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为,构成一个三棱锥．

（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；

（2）证明平面；

（3）求二面角的余弦值．

Answer

（1）平行；（2）证明和即可；（3）

【解析】

试题分析：本题考查空间想象能力，在折叠过程中，找到不变的量是求解的关键.（1）由中位线定理，可证明平行；（2）证明和即可；（3）注意到三角形MEF、BEF都是等腰三角形，因此，取EF的中点即可求出二面角.

试题解析：（1）平行平面

证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）

所以平行,

因为，所以平行平面.

（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.

因为在折叠前，由于折叠后，点，所以

因为，所以平面.

（3）【解析】

所以是二面角的平面角.

因为⊥，所以.

在中， ，由于，所以，

于是.

所以，二面角的余弦值为.

考点：1、线面平行；2、线面垂直的判定；3、二面角的概念及其求法.