Question

若正数项数列的前项和为，首项，点在曲线上.

（1）求；

（2）求数列的通项公式；

（3）设,表示数列的前项和,若恒成立，求及实数的取值范围.

Answer

（1），.；（2）；（3），.

【解析】

试题分析：（1）分别取和，可求；（2）将点P代入曲线方程，化简，可得：，从而数列是以为首项，1为公差的等差数列，可求得；（3）用裂项相消法可求解.

试题解析：（1）因为点在曲线上，所以.

分别取和，得到，

由解得，.

（2）由得.

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列

所以，   即

由公式，得

所以

（3）因为，所以，

显然是关于的增函数， 所以有最小值

由于恒成立，所以，

于是的取值范围为.

考点：（1）数列前n项和与通项公式之间的关系；（2）等差数列的证明，等差数列的通项公式；（3）裂项相消法.