Question

已知函数

（1）当时，求在上的最小值；

（2）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；

（3）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

Answer

（1）0；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）对函数求导，求出给定区间上唯一的极小值就是最小值；（2）求导，求出函数的增区间即可；（3）将方程的根转化为两函数图象交点来处理，体现了数学转化思想.

试题解析：（1）当，，

于是，当在上变化时，的变化情况如下表：

（，1）

1

（1,2）

2

－

0

＋

单调递减

极小值0

单调递增

由上表可得，当时函数取得最小值0.

（2），因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为，因为函数在上为增函数，所以，所以.

（3）方程在区间内恰有两个相异的实根方程在区间内恰有两个相异的实根方程在区间内恰有两个相异的实根函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点

考察函数，，在为减函数，在为增函数

画函数，的草图，要使函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点，则要满足

所以的取值范围为

考点：1、函数的导数及其应用；2、函数的极值、单调区间；3、方程问题转化为函数图象问题，数学转化思想.