Question

已知函数（为常数）．

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）函数的单调递减区间为；（2）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）将代入函数解析式并求出相应的导数，利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的单调递减区间；（2）构造新函数，将问题转化为“对任意时，恒成立”，进而转化为，围绕这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数的取值范围.

试题解析：（1）的定义域为，，

当时，，                           2分

由及，解得，所以函数的单调递减区间为      4分

（2）设，

因为对任意的，恒成立，所以恒成立，

，

因为，令，得，，                7分

①当，即时，

因为时，，所以在上单调递减，

因为对任意的，恒成立，

所以时，，即，

解得，因为。所以此时不存在；            10分

②当，即时，因为时，，时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为对任意的，恒成立，所以，且，

即，解得，

因为，所以此时；                 13分

③当，即时，因为时，，

所以在上单调递增，由于，符合题意；            15分

综上所述，实数的取值范围是                      16分

考点：函数的单调区间与导数、不等式恒成立、分类讨论