Question

已知为函数图象上一点，为坐标原点，记直线的斜率．

（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（2）当 时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：．

Answer

（1）；（2）；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力和思维的严谨性.第一问，考查求导求极值问题；第二问，是恒成立问题，将第一问的代入，整理表达式，得出，构造函数，下面的主要任务是求出函数的最小值，所以；第三问，是不等式的证明，先利用放缩法构造出所证不等式的形式，构造数列，利用累加法得到所证不等式的左边，右边利用裂项相消法求和，再次利用放缩法得到结论.

试题解析：（1）由题意，,所以        2分

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值．

因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以，得．即实数的取值范围是．         4分

（2）由得，令，

则．                            6分

令，则，

因为所以,故在上单调递增．        8分

所以,从而

在上单调递增,

所以实数的取值范围是．                     10分

（3）由(2) 知恒成立,

即          12分

令则，        14分

所以， ，  ,．

将以上个式子相加得：，

故．                16分

考点：1.函数极值的求法；2.恒成立问题；3.求函数的最值；4.放缩法；5.裂项相消法.