Question

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．

（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）是，理由详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）判断方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布.

试题解析：【解析】
为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．

（Ⅰ）当时，

方程即有解，

所以为“局部奇函数”．                                            3分

（Ⅱ）当时，可化为，

因为的定义域为，所以方程在上有解．     5分

令，则．

设，则，

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，．               7分

所以时，．

所以，即．                                  9分

（Ⅲ）当时，可化为

．

设，则，

从而在有解即可保证为“局部奇函数”．    11分

令，

1° 当，在有解，

由，即，解得；         13分

2° 当时，在有解等价于

解得．                  15分

（说明：也可转化为大根大于等于2求解）

综上，所求实数m的取值范围为．                    16分

考点：函数的值域、方程解的存在性的判定.