Question

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为．

（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；

（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）最小费用为万元，相应的角为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）把，，的长度分别用表示，分别求出费用相加即可；（Ⅱ）对（Ⅰ）中函数，用导数为工具，判断其单调区间，求出最小值.

试题解析：（Ⅰ）如图，过作，垂足为，由题意得，

故有，，．        4分

所以    5分

．       8分

（Ⅱ）设(其中)，

则．             10分

令得，即，得．              11分

列表

+

0

-

单调递增

极大值

单调递减

所以当时有，此时有．        15分

答：排管的最小费用为万元，相应的角．             16分

考点：函数的应用、导数的应用.