Question

已知椭圆的长轴两端点分别为，是椭圆上的动点，以为一边在轴下方作矩形，使，交于点，交于点．

（Ⅰ）如图（1），若，且为椭圆上顶点时，的面积为12，点到直线的距离为，求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图（2），若，试证明：成等比数列．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由的面积为12，点到直线的距离为，列出关于的方程求解；（Ⅱ）用坐标表示各点，然后求出的长，计算比较即可.

试题解析：（Ⅰ）如图1，当时，过点，，

∵的面积为12，，即．①                2分

此时，直线方程为．

∴点到的距离． ②    4分

由①②解得．             6分

∴所求椭圆方程为．       7分

（Ⅱ）如图2，当时，，设，

由三点共线，及，

（说明：也可通过求直线方程做）

得，

，即．   9分

由三点共线，及，

得，

，即．   11分

又，.             13分

而．   15分

，即有成等比数列．                       16分

考点：椭圆的标准方程、点到直线的距离、等比数列.