Question

已知函数，其中．

（1）若时，记存在使

成立，求实数的取值范围；

（2）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．

Answer

⑴ ;⑵

【解析】

试题分析：⑴由已知先写出，的解析式，然后根据函数的单调性与导函数的关系分别求出的最大值和的最小值，只要使得最大值大于最小值，就能保证题设的条件成立；⑵函数的解析式中含有参数，所以做关于函数解析式的讨论时一定要讨论参数的取值，本题关于参数分三种情况进行讨论，利用导数讨论函数的单调性，利用导数讨论函数的最值，解题时注意要全面讨论，不能漏解.

试题解析：（1）由已知得解得,

当时，，单调递减；当时，，单调递增,

所以,                                3分

又显然则在上是递增函数，，所以,

存在使成立，实数的取值范围是；            .6分

（2）【解析】
，分类讨论：

① 当时，,

所以在单调递增，在单调递减，在只有最小值没有最大值,..8分

当，;

② 当时，令，得，，与的情况如下：

↗

↘

故的单调减区间是，；单调增区间是．

当时，由上得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．又因为,

设为的零点，易知，且．从而时，；时，．

若在上存在最小值，必有，解得．

所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．       .11分

③ 当时，与的情况如下：

↘

↗

所以的单调增区间是；单调减区间是,

在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．又因为,

若在上存在最大值，必有，解得，或．

所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．

综上，的取值范围是．                     14分

考点：利用导数讨论函数的单调性，利用导数讨论函数的最值.