Question

已知命题P：函数f(x)=lg(x²－4x+a²)的定义域为R，命题Q： ，不等式a²－5a-3≥恒成立，若命题“P或Q”为真命题，且“P且Q”为假命题，求实数a的范围。

Answer

【解析】

试题分析：根据若命题“P或Q”为真命题，且“P且Q”为假命题知道P和Q一真一假，分两种情况进行讨论：P真Q假和P假Q真，再根据二次函数的恒成立问题的解法和不等式的恒成立问题的解法解题，要把每种情况都讨论清楚，不要遗漏知识点.

试题解析：若命题“P或Q”为真命题，且“P且Q”为假命题，则有P和Q一真一假,       .2分

先求出P,Q都为真时a的取值：

当P为真时，即对任意的，都有恒成立,

则，解得,                          4分

当Q为真时，在区间上的最大值是3,

则有恒成立，解得,                       6分

由上知当P,Q一真一假时有：

P真Q假      P假Q真,                  10分

解得.                              ...12分

考点：二次函数的图形和性质的应用，二次函数的恒成立问题.