Question

已知二次函数h(x)=ax²+bx+c(其中c<3)，其导函数的图象如图，f(x)=6lnx+h(x).

①求f(x)在x=3处的切线斜率；

②若f(x)在区间(m,m+)上是单调函数，求实数m的取值范围；

③若对任意k∈[-1,1]，函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求c的取值范围.

Answer

①0; ②;③

【解析】

试题分析：①根据图像求出一次导函数的解析式，那么函数的导函数就很容易得到了，所求的切线斜率即是其所对应的的导函数值；②根据函数的单调性与导数的关系求出函数的三个单调区间，使得所给的区间在任何一个单调区间内即可求出未知数的取值范围；③由已知条件先导出和有关的不等式，将放在不等式的一边，那么就有的最小值也要大于等于不等式另一边式子的最大值，才能保证不等式恒成立，由函数的单调性和导数的关系求最值即可.

试题解析：①由已知得，其图像如图所示过点和,

则有，解得，所以,

所以，则即在处的切线斜率为0；            3分

②由已知得,

令，得，列表如下：

x

(0,1)

1

(1, 3)

3

(3,+∞)

+

0

－

0

+

..f(x)

极大值

极小值

要使f(x)在上是单调函数，则区间必须完全含在任意一个单调区间内,    5分

所以有或或,

所以m的取值范围为：；                   7分

③由题意知：对，恒成立,

即在恒成立,

即在恒成立,                         8分

令，则,

因为,

令，则,

时，，则在上是单调递减的,

时，，则在上是单调递增的,

∴当时，,

又，，则,

所以，恒成立，则在上是单调递增的,

则,                      .12分

在恒成立,

∴，∴.                         14分

考点：函数的单调性和导数的关系，恒成立问题的解法.