Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且与椭圆x²＋＝1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M(0,1)，与椭圆C交于不同的两点A、B.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer

（1）＋＝1;（2）(－∞，)．

【解析】

试题分析：(1)求出已知椭圆离心率，结合焦距2c=4，可得a，b；（2）联立方程组，依据点在圆内部列出关系式求解.

试题解析：(1)∵椭圆C的焦距为4，∴c＝2.

又∵椭圆x2＋＝1的离心率为，∴椭圆C的离心率e＝＝＝，∴a＝2，b＝2.

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.

由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0)，

∵右焦点F在圆的内部，∴·<0.∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2<0，

即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1<0.∴(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5

＝(1＋k2)·＋(k－2)·＋5＝<0，∴k<.

经检验，当k<时，直线l与椭圆C相交．∴直线l的斜率k的取值范围为(－∞，)．

考点：椭圆方程得确定、直线与圆及椭圆的位置关系.