Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.  (1)求证：BF∥平面ACGD； (2)求二面角D­CG­F的余弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）设DG的中点为M，连接AM，FM.可得BF//AM；（2）做出二面角平面角，利用三角函数求.

也可以利用空间向量求解.

试题解析：方法一 (1)设DG的中点为M，连接AM，FM.

则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形．

∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，

∴AB∥DE.∵AB＝DE，

∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四边形ABFM是平行四边形．

∴BF∥AM.

又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，

故BF∥平面ACGD.

(2)由已知AD⊥平面DEFG，∴DE⊥AD.又DE⊥DG，

∴DE⊥平面ADGC.∵MF∥DE，∴MF⊥平面ADGC.

在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则∠MNF为所求二面角的平面角．

连接CM.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AC∥DM.又AC＝DM＝1，所以四边形ACMD为平行四边形，∴CM∥AD，且CM＝AD＝2.

∵AD⊥平面DEFG，∴CM⊥平面DEFG，∴CM⊥DG.

在Rt△CMG中，∵CM＝2，MG＝1，∴MN＝＝＝.

在Rt△FMN中，

∵MF＝2，MN＝，∴FN＝＝.

∴cos∠MNF＝＝＝，∴二面角D­CG­F的余弦值为.

方法二 由题意可得，AD，DE，DG两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,2)，B(2,0,2)，C(0,1,2)，E(2,0,0)，G(0,2,0)，F(2,1,0)．

(1)＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)，＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，

∴＝，∴BF∥CG.又BF⊄平面ACGD，故BF∥平面ACGD.

(2)＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)．设平面BCGF的法向量为n1＝(x，y，z)，

则令y＝2，则n1＝(1,2,1)．则平面ADGC的法向量n2＝(1,0,0)．

∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.

由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D­CG­F的余弦值为.

考点：线面平行、二面角求法.