Question

已知动点到定点和的距离之和为.

（Ⅰ）求动点轨迹的方程；

（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.

试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．

由，得．故曲线的方程为．         5分

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，

由，得．         7分

设，，，．

从而．                                                                                                                               11分

当直线的斜率不存在时，得，

得．

综上，恒有．                                                                                                         12分

考点：1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.