Question

已知点是椭圆：上一点，分别为的左右焦点，，的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查椭圆的定义、余弦定理及韦达定理的应用.第一问是利用三角形面积公式、余弦定理、椭圆的定义，三个方程联立，解出，再根据的关系求，本问分析已知条件是解题的关键；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.

试题解析：（Ⅰ）在中，

由，得．

由余弦定理，得

，

从而，即，从而，

故椭圆的方程为．                                                                                                  6分

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，

由，得．                                     8分

设，，，．

从而．                                                                                                                           11分

当直线的斜率不存在时，得，得．

综上，恒有．                                                                                                         12分

考点：1.椭圆的定义；2.韦达定理；3.直线的斜率.