Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若恒成立，证明：当时，.

Answer

（Ⅰ）当时，在上递增；当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查分类讨论思想和综合分析问题和解决问题的能力.第一问是利用导数研究函数的单调性，但是题中有参数，需对参数进行讨论，可以转化为含参一元一次不等式的解法；第二问先是恒成立问题，通过第一问的单调性对进行讨论，通过求函数的最大值求出符合题意的，表达式确定后，再利用函数的单调性的定义，作差，放缩法证明不等式.

试题解析：（Ⅰ）．

若，，在上递增；

若，当时，，单调递增；

当时，，单调递减．                                      5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若，在上递增，

又，故不恒成立．

若，当时，递减，，不合题意．

若，当时，递增，，不合题意．

若，在上递增，在上递减，

符合题意，

故，且（当且仅当时取“”）．                    8分

当时，

，

所以．                                           12分

考点：1.利用导数求函数的单调性；2.恒成立问题；3.分类讨论思想和放缩法的应用.