Question

已知函数．

（1）当时，求函数的最大值；

（2）若函数没有零点，求实数的取值范围；

Answer

(1) ；（2）.

【解析】

试题分析：(1)通过对函数求导，判函数的单调性，可求解函数的最大值，需注意解题时要先写出函数的定义域，切记“定义域优先”原则;(2) 将的零点问题转化为与图象交点个数问题，注意函数的图象恒过定点，由图象知当直线的斜率为时，直线与图象没有交点，当时，求出函数的最大值，让最大值小于零即可说明函数没有零点.

试题解析：（1）当时，       2分

定义域为，令，      

 ∵当，当，

∴内是增函数，上是减函数

∴当时，取最大值        5分

（2）①当，函数图象与函数图象有公共点，

∴函数有零点，不合要求；                             7分

②当时，       8分

令，∵，

∴内是增函数，上是减函数，  10分

∴的最大值是，

∵函数没有零点，∴，，      11分

因此，若函数没有零点，则实数的取值范围    12分

考点：1.利用导数求函数的最值；2.函数与方程思想.3.数形结合思想.