Question

设a＞0，定点F（a，0），直线l：x=-a交x轴于点H，点B是l上的动点，过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（II）设直线BF与曲线C交于P，Q两点，证明：向量、与的夹角相等．

Answer

（I）连接MF根据题意可推断出|MF|=|MB|，进而根据抛物线的定义推知C的方程．
（II）设P，Q的坐标和直线BF的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理表示出x1x2，令与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，利用向量的数量积的运算可分别求得cosθ1和cosθ2的表达式，结果相等，根据θ1和θ2的范围，推断出二者相等．
（I）【解析】
连接MF，依题意有|MF|=|MB|，
所以动点M的轨迹是以F（a，0）为焦点，直线l：x=-a为准线的抛物线，
所以C的方程为y2=4ax．（5分）
（II）【解析】
设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
依题意直线BF的斜率存在且不为0，设直线BF的方程为y=k（x-a）（k≠0），
将其与C的方程联立，消去y得k2x2-2a（k2+2）x+a2k2=0
故x1x2=a2．
记向量与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，其中0＜θ1，θ2＜π，
因为，
所以；
同理
因为cosθ1=cosθ2，且0＜θ1，θ2＜π，
所以θ1=θ2，即、与的夹角相等．