Question

已知数列a_n，其前n项和为．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式，并证明数列a_n是等差数列；
（Ⅱ）如果数列b_n满足a_n=log₂b_n，请证明数列b_n是等比数列，并求其前n项和；
（Ⅲ）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer

（Ⅰ）利用
（Ⅱ）用等比数列的定义证明；先判断公比是否为1，再选择等比数列的前 n 项和公式求解
（Ⅲ）裂项求和求Tn，判断Tn-Tn+1的正负，证明数列{Tn}的单调性，求出Tn的最值，解k
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=5，（1分）
当n≥2时，=．（2分）
又a1=5满足an=3n+2，（3分）
∴an=3n+2（n∈N*）．（4分）
∵an-an-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N*），
∴数列an是以5为首项，3为公差的等差数列．（5分）

（Ⅱ）由已知得（n∈N*），（6分）
∵（n∈N*），（7分）
又，
∴数列bn是以32为首项，8为公比的等比数列．（8分）
∴数列bn前n项和为．（9分）

（Ⅲ）（10分）
∴=．（11分）
∵（n∈N*），
∴Tn单调递增．
∴．（12分）
∴，解得k＜19，因为k是正整数，∴kmax=18．（13分）