已知函数，g（x）=lnx．（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增...

已知函数

，g（x）=lnx．
（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程 manfen5.com 满分网

在区间

内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

（1）由于函数的解析式中含有参数a，故我们要对a进行分类讨论，注意到a出现在二次项系数的位置，故可以分a＞0，a=0，a＜0三种情况，最后将三种情况得到的结论综合即可得到答案．（2）方程整理为ax2+（1-2a）x-lnx=0构造函数H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根即为函数H（x）在区间（）内有且只有两个零点，根据函数零点存在定理，结合函数的单调性，构造不等式组，解不等式组即可得到结论．【解析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为，由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，所以，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0．当a＜0时，不符合题意．综上，a的取值范围是a≥0．（Ⅱ）把方程整理为，即为方程ax2+（1-2a）x-lnx=0．设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），原方程在区间（）内有且只有两个不相等的实数根，即为函数H（x）在区间（）内有且只有两个零点 = 令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或（舍）当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数． H（x）在（）内有且只有两个不相等的零点，只需即 ∴ 解得，所以a的取值范围是（）．

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考点分析：

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