Question

如图，PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F（1）求证：PB⊥平面EFD；（2）求二面角C-PB-D的大小．

Answer

（1）证明PB垂直于平面EFD内的2条相交直线EF和DE．
（2）先证明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，解Rt△PDB，求出该角的余弦值，从而求出该角的大小．
【解析】
（1）因为PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，
所以PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，四边形ABCD是正方形，BC⊥CD，
所以BC⊥平面PDC，又DE⊂平面PDC，
所以DE⊥BC，因为PD=DC，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，
于是DE⊥平面PBC，有DE⊥PB，由EF⊥PB，EF∩DE=E，
得PB⊥平面EFD．
（2）由（1）知，PB⊥平面EFD，所以PB⊥DF，∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，
设PD=DC=a，有，
在Rt△PDB中，，
在Rt△PCB中，，
得，
于是，
所以∠EFD=60°．于是二面角C-PB-D的大小为60°．