Question

已知函数h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e是自然对数的底数）．
（1）判断函数F（x）=h（x）-φ（x）的零点个数并证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线的上方．

Answer

第（1）问判断函数的零点个数可通过函数的图象来解决，借助导数来判断函数的单调性及极值得到函数的图象，从而解决问题；第（2）问构造函数，再借助导数判断函数的单调性及极值得到函数的图象恒在x轴上方，问题得以解决．
【解析】
（1）函数F（x）只有一个零点．
证明：∵F（x）=h（x）-φ（x）=x2-2elnx（x＞0），
∴F'（x）=2x-．
当x=时，F'（x）=0．
∵当0＜x＜时，F'（x）＜0，此时函数F（x）递减；
当x＞时，F'（x）＞0，此时函数F（x）递增；
∴当x=时，F（x）取极小值，其极小值为0．
所以函数F（x）只有一个零点．
（2）证明：令G（x）=φ（x）-2x+e=2elnx-2x+e，
则G'（x）=，当x=时，G'（x）=0．
∵当0＜x＜时，G'（x）＞0，此时函数G（x）递增；
当x＞时，G'（x）＜0，此时函数G（x）递减；
∴当x=时，G（x）取极大值，其极大值为0．
从而G（x）=2elnx-2x+e≤0，
即ϕ（x）≤2x-e（x＞0）恒成立，
所以当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2x-e的上方．