Question

已知二次函数f（x）=2x²-4（a-1）x-a²+2a+9，
（1）若在区间[-1，1]内至少存在一个实数m，使得f（m）＞0，求实数a的取值范围；
（2）若对区间[-1，1]内的一切实数m都有f（m）＞0，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据函数f（x）的对称轴分别表示出f（1），f（-1）和f（a-1），进而根据在区间[-1，1]内至少存在一个实数m，使得f（m）＞0，推断函数f（x）的最大值大于0，进而根据a＜1时和a≥1时的函数的最大值，求得a的范围；
（2）依题意可知[f（x）]min＞0，进而看0≤a≤2和a＞2时根据二次函数的单调性求得f（x）的最小值，进而求得a的范围．
【解析】
∵f（x）的对称轴x=a-1，而f（1）=-a2-2a+15，
f（-1）=-a2+6a+7，f（a-1）=-3a2+6a+7；
（1）命题⇔[f（x）]max＞0，（x∈[-1，1]），
①当x＜0，即a＜1时，[f（x）]max
=f（1）＞0⇒a2+2a-15＜0⇒-5＜a＜3，得-5＜a＜1；
②当x≥0，即a≥1时，[f（x）]max
=f（-1）＞0⇒a2-6a-7＜0⇒-1＜a＜7，得1≤a＜7；
综上，a的取值范围是（-5，7）；
（2）命题⇔[f（x）]min＞0（x∈[-1，1]），
①当x＜-1，即a＜0时，[f（x）]min
=f（-1）＞0⇒-1＜a＜7，得-1＜a＜0；
②当-1≤x≤1，即0≤a≤2时，[f（x）]min
=f（a-1）＞0，
得0≤a≤2；
③当x＞1，即a＞2时，[f（x）]min=f（1）＞0⇒-5＜a＜3，
得2＜a＜3；
综上，a的取值范围是（-1，3）．