Question

设a∈R，函数f（x）=2x³+（6-3a）x²-12ax+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，2]上的最小值．

Answer

（Ⅰ）求出函数的导函数，把a=1代入导函数确定出导函数的解析式，然后把x=0代入导函数中求出值即为切线的斜率，把x=0代入
f（x）的解析式中求出切点的纵坐标f（0），然后根据求出的切点坐标和斜率写出切线的方程即可；
（Ⅱ）令导函数等于0求出此时x的值，然后分a大于等于2和a小于2大于-2两种情况，由x的值讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，由函数的增减性即可得到函数的最小值．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=6[x2+（2-a）x-2a]=6（x+2）（x-a）．（3分）
当a=1时，f'（0）=-12，f（0）=2，
所以切线方程为y-2=-12x，即12x+y-2=0．（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得：x1=-2，x2=a．
①a≥2，则当x∈（-2，2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（-2，2）上单调递减，
所以，当x=2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（2）=42-36a．（8分）
②-2＜a＜2，则当x∈（-2，2）时，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以，当x=a时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（a）=-a3-6a2+2．（11分）
③a≤-2，则当x∈（-2，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（-2，2）上单调递增，
所以，当x=-2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（-2）=10+12a．（13分）
综上，当a≤-2时，f（x）的最小值为10+12a；当-2＜a＜2时，f（x）的最小值为-a3-6a2+2；
当a≥2时，f（x）的最小值为42-36a．（14分）