Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0）两点，曲线C上的动点P满足．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点M（0，3），交曲线C于A，B两点，且，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）由已知可得曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为6的椭圆，由引能够求出椭圆的方程．
（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可知A为MB的中点，由中点坐标公式结合题设条件能够求出直线l的方程．
方法二：依题意，设直线l的方程为y=kx+3．由得（5+9k2）x2+54kx+36=0．令△＞0，解得．再由根与系数的关系能够求出直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得＞|F1F2|=4，
故曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为．
（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可知A为MB的中点，
则有
将（3）、（4）代入（2）得，整理为．
将（1）代入上式得y1=2，再代入椭圆方程解得，
故所求的直线方程为．
方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．
由得（5+9k2）x2+54kx+36=0．令△＞0，解得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，①．②
因为，所以A为MB的中点，从而x2=2x1．
将x2=2x1代入①、②，得，，
消去x1得，
解得，．
所以直线l的方程为．