Question

数列{a_n}满足a₁=a，，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a_n+1=a_n，求a的值；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）设数列{a_n-1}的前n项之积为T_n．若对任意正整数n，总有（a_n+1）T_n≤6成立，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意知，解得，由n的任意性知，．
（Ⅱ）假设，则，依此类推，，，，，与矛盾．所以．
（Ⅲ）由题设条件知．由此入手能够解出a的取值范围是．
【解析】
（Ⅰ）因为an+1=an，所以，解得或an=-1（舍去）．
由n的任意性知，．（3分）
（Ⅱ）反证法：
假设，则，得，
依此类推，，，，，与矛盾．
所以．（8分）
（Ⅲ）由已知，当n≥2时，2an2=an-1+3，2（an2-1）=an-1+1，2（an-1）（an+1）=an-1+1，
所以．
同理，，．
将上述n-1个式子相乘，得，
即，．
所以对任意n≥2恒成立．
又n=1时，（a1+1）（a1-1）=a12-1≤6，
故a12≤6×2n-1+1对任意n∈N*恒成立．
因为数列{6×2n-1+1}单调递增，所以a12≤6×1+1=7，
即a的取值范围是．（14分）