Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求直线B₁B和平面CDB₁所成角的大小．

Answer

（1）以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AC=BC=CC1=2，求出向量，，，求出与的数量积以及与的数量积，从而证得CD⊥AB，CD⊥B1B，根据线面垂直的判定定理即可证得；
（2）欲证AC1∥平面CDB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC1与平面CDB1内一直线平行即可，而DE∥AC1；
（3）直线B1B和平面CDB1所成的角就是B1B和DB1所成的角，∠BB1D是直线B1B和平面CDB1所成的角，利用向量求出此角即可．
【解析】
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC1两两垂直．
如图，以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AC=BC=CC1=2．
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（1，1，0）．
（Ⅰ）证明：∵
∴，CD⊥AB，CD⊥B1B．
又AB∩B1B=B，
∴CD⊥平面A1ABB1（4分）
（Ⅱ）证明：设BC1与B1C的交点为E，则E（0，1，1）．
∵（7分）
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ABB1，
∴平面CDB1⊥平面A1ABB1，且平面CDB1∩平面A1ABB1=DB1，
∴直线B1B和平面CDB1所成的角就是B1B和DB1所成的角，
即∠BB1D是直线B1B和平面CDB1所成的角（12分）
∵，
∴，
∴直线B1B和平面CDB1所成角的大小是（14分）