Question

已知负数a和正数b，令a₁=a，b₁=b，且对任意的正整数k，当≥0时，有a_k+1=a_k，b_k+1=；
当＜0，有a_k+1=，b_k+1=b_k．
（1）求b_n-a_n关于n的表达式；
（2）是否存在a，b，使得对任意的正整数n都有b_n＞b_n+1？请说明理由．
（3）若对任意的正整数n，都有b_2n-1＞b_2n，且b_2n=b_2n+1，求b_n的表达式．

Answer

（1）通过计算转化建立{bn-an}的相邻两项之间的关系是解决本题的关键，发现该数列是等比数列，从而确定出通项公式；
（2）首先假设存在合题意的a，b，然后确定出bn的关系式是解决本题的关键，通过分析其相邻项之间的关系达到解决该题的目的；
（3）通过bn的相应项之间的关系得到关于n的不等关系，利用加减项的方法确定出bn的表达式是解决本题的关键，注意对项数奇偶的讨论．
【解析】
（1）当≥0时，bk+1-ak+1=-ak=；
当＜0，bk+1-ak+1=bk-=．
所以，总有bk+1-ak+1=（bk-ak），
因此，数列{bn-an}是首项为b-a，公比为的等比数列．
所以bn-an=（b-a）（）n-1．
（2）假设存在a，b，对任意的正整数n都有bn＞bn+1，即an=an+1．
所以an=an-1=…=a1=a，又bn-an=（b-a）（）n-1，所以bn=a+（b-a）（）n-1，
又≥0，即a+（b-a）（）n≥0，即2n≤，
因为是常数，故2n≤不可能对任意正整数n恒成立．
故不存在a，b，使得对任意的正整数n都有bn＞bn+1．
（3）由b 2n-1＞b2n，可知a 2n-1=a2n，b2n=，
所以b2n=，即b2n-b 2n-1=-（b2n-a2n）=-（b-a）（）2n-1．
又b2n=b 2n+1，故b 2n+1-b 2n-1=-（b2n-a2n）=-（b-a）（）2n-1．
∴b 2n-1=（b 2n-1-b 2n-3）+（b 2n-3-b 2n-5）+…+（b3-b1）+b1
=（a-b）[（）2n-3+（）2n-5+…+（）1]+b=（a-b）[1-（）n-1]+b．
当n为奇数时，令n=2m-1，可得bn=b 2m-1=（a-b）[1-（）m-1]+b=（a-b）[1-（）n-1]+b，
当n为偶数时，可得bn=b n+1=（a-b）[1-（）n]+b，
故bn=．