Question

已知二次函数f（x）=x²-2（m-1）x-2m+m²，
（1）如果它的图象经过原点，求m的值；
（2）如果它的图象关于y轴对称，写出该函数的解析式；
（3）是否存在实数m，对x∈[1，3]上的每一个x值，都有f（x）≥3成立，若存在，求出m的范围，若不存在，说明理由．

Answer

（1）将点（0，0）代入即可得到答案．
（2）关于y轴对称知一元二次函数的对称轴为y轴，所以m-1=0可得答案．
（3）只要f（x）在x∈[1，3]上的最小值大于等于3就可以满足条件．转化为求二次函数在区间[1，3]的最小值问题．
【解析】
（1）过原点（0，0）0=-2m+m2∴m=0或2；
（2）由题意知，二次函数的对称轴为y轴，∴m-1=0∴m=1
函数解析式为：f（x）=x2-1．
（3）f（x）=[x-（m-1）]2-1
对称轴x=m-1
1°当m-1＜1即m＜2时，f（x）在[1，3]上递增，x=1时f（x）最小，f（1）=（2-m）2-1≥3∴m≥4或m≤0∴m≤0
2°：当1≤m-1≤3，即2≤m≤4，f（x）=[x-（m-1）]2-1，最小值为-1，-1≥3不成立
3°：m-1＞3即m＞4时f（x）在[1，3]上递减，x=3时最小    f（3）=（4-m）2-1≥3∴m≤2或m≥6
由以上可知：m≤0或m≥6．