Question

如图，设点A（x，y）为抛物线上位于第一象限内的一动点，点B（0，y₁）在y轴正半轴上，且|OA|=|OB|，直线AB交x轴于点P（x₂，0）．
（Ⅰ）试用x表示y₁；
（Ⅱ）试用x表示x₂；
（Ⅲ）当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标．

Answer

（Ⅰ）先根据两点间的距离公式得到|OA|与|OB|，根据A在抛物线上消去y即可用x表示y1．
（Ⅱ）先表示出直线AB的斜率，从而可得到直线AB的方程，然后令y=0得到所求的用x表示x2．
（Ⅲ）对（Ⅱ）中x2的关系式求极限，即可得到P的极限坐标．
【解析】
（Ⅰ）=，
∴．
（Ⅱ），
=，
=，
直线AB的方程为
，
令y=0，得
．
（Ⅲ），
故当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标是（1，0）．