Question

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=10^x-1，下面关于函数f（x）的判断：
①当x∈[-1，0]时，f（x）=10^-x-1；
②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③对任意x₁，x₂∈（1，2），满足（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＜0；
④当x∈[2k，2k+1]，k∈Z时，f（x）=10^x-2k-1．其中正确判断的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

x∈[0，1]时的解析式知道，利用偶函数，可先求得x∈[-1，0]时的解析式，又由f（x+2）=f（x）说明f（x）是周期为2的周期函数，则R上的解析式均可求出．可结合图象求解．
【解析】
由题意可知f（x）的图象如图所示：
①当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，则f（-x）=10-x-1，因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=10-x-1，故①正确；
②正确；③x∈（1，2）时，f（x）为减函数，故③正确；
④当x∈[2k，2k+1]，k∈Z时，x-2k∈[0，1]，所以f（x-2k）=10x-2k-1，
由f（x+2）=f（x）可知，f（x）是周期为2的周期函数，所以f（x）=f（x-2k）=10x-2k-1，④正确．
故选D．