Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）在满足（1）的条件下，探究函数f（x）零点的个数；如果有零点，请指出每个零点处于哪两个连续整数之间，并说明理由；
（3）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）先求函数f（x）的导函数，再根据函数f（x）在x=-1处取得极值得到f'（-1）=0，解方程即可；
（2）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，发现极值都大于零，从而函数f（x）有零点且只有一个，又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．
（3）讨论a的值，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间即可．
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax+1
因为函数f（x）在x=-1处取得极值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2+x+1f'（x）=3x2+4x+1
令f'（x）=3x2+4x+1=0解得

从上表可以看出，
所以函数f（x）有零点且只有一个
又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．
（3）f'（x）=3x2+2ax+1△=4a2-12=4（a2-3）
当a2≤3，即时，△≤0，f'（x）≥0，所以函数f（x）在R上是增函数
当a2＞3，即时，△＞0，解f'（x）=0得两根为，（显然x1＜x2）
当x∈（-∞，x1）时f'（x）＞0；x∈（x1，x2）时f'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时f'（x）＞0
所以函数f（x）在，上是增函数；
在上是减函数
综上：当时，函数f（x）在R上是增函数；
当时，函数f（x）在，上是增函数；在上是减函数