Question

对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
①函数f（x）是D上的单调函数；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数f（x）是闭函数．
（1）判断函数，x∈[1，10]；g（x）=-x³，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
（2）若函数，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer

（1）要判断一个函数是否是闭函数，关键是判断函数f（x）是否满足条件①函数f（x）是D上的单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．只要有一个条件不满足，即可判定函数f（x）不是闭函数．
（2）若函数，x∈[-2，+∞）是闭函数，则其必满足①函数f（x）是D上的单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．由于函数在定义域为增函数，故关键是要找出合适的k值，使条件②满足，即：
f（a）=a且f（b）=b，由此构造关于k的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【解析】
（1）
令f'（x）=0
解得舍）
∵时f'（x）＜0；
时f'（x）＞0
∴f（x）在上是减函数，在上是增函数
∴函数f（x）不是[1，10]上的单调函数
∴不是闭函数．
②∵g'（x）=-x2≤0∴g（x）=-x3在R上是减函数，
设g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则，解得
∴存在区间[-1，1]⊆R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函数g（x）=-x3是闭函数
（2）函数在定义域上是增函数
设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则，
故a，b是方程的两个不相等的实根，
命题等价于有两个不相等的实根，
当k≤-2时，，
解得，∴．
当k＞-2时，，无解．
∴k的取值范围是