Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若PD：SP=1：3，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）由于SD在平面SBD上，证明AC⊥平面SBD，即AC⊥平面内任何线段，即得AC⊥SD．
（2）取SD中点为N，因为PD：SP=1：3，则PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，
即可得到平面BEN∥平面PAC，使得BE∥平面PAC，进而求得SE：EC的值．
证明：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
（Ⅱ）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC
取SD中点为N，因为PD：SP=1：3，则PN=PD，
过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN．
在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，
故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，
由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．