Question

已知某质点的运动方程为s（t）=t³+bt²+ct+d，如图是其运动轨迹的一部分，若t∈[，4]时，s（t）＜3d²恒成立，求d的取值范围．

Answer

结合图象发现s（t）在t=1和t=3处取得极值，可建立两个等式，解出b与c的值，根据单调性求出s（t）在[，4]上的最大值，使s（t）max＜3d2，解出不等式即可．
【解析】
s'（t）=3t2+2bt+c．
由图象可知，s（t）在t=1和t=3处取得极值．
则s'（1）=0，s'（3）=0．
即解得
s'（t）=3t2-12t+9=3（t-1）（t-3）．
当t∈[，1）时，s'（t）＞0．
当t∈（1，3）时，s'（t）＜0．
当t∈（3，4）时，s'（t）＞0．
则当t=1时，s（t）取得极大值为4+d．
又s（4）=4+d，
故t∈[，4]时，s（t）的最大值为4+d．
已知s（t）＜3d2在，4]上恒成立，
∴s（t）max＜3d2．即4+d＜3d2．
解得d＞或d＜-1．
∴d的取值范围是{d|d＞或d＜-1}．