Question

如图已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点．
（1）求证：面PCC₁⊥面MNQ；
（2）求证：PC₁∥面MNQ；
（3）若，求三棱锥P-MNQ的体积．

Answer

（1）欲证面PCC1⊥面MNQ，只需证MN⊥面PCC1，而MN∥AB，易证AB⊥面PCC1，根据两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与面垂直；
（2）连PB1与MN相交于K，连KQ，易证PC1∥KQ，而而KQ⊂平面MNQ，PC1⊄平面MNQ，根据线面平行的判定定理很快得证；
（3）Q到平面AA1B1B的距离h等于CP的一半，要求三棱锥P-MNQ的体积，可转化成求三棱锥Q-PMN的体积．
证明：（1）∵AC=BC，P是AB的中点，∴AB⊥PC，
∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1，
∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内
∴CC1⊥AB，∵CC1∩PC=C∴AB⊥面PCC1；
又∵M、N分别是AA1、BB1的中点，
四边形AA1B1B是平行四边形，MN∥AB，
∴MN⊥面PCC1∵MN在平面MNQ内，
∴面PCC1⊥面MNQ；（5分）
（2）连PB1与MN相交于K，连KQ，
∵MN∥PB，N为BB1的中点，∴K为PB1的中点．
又∵Q是C1B1的中点∴PC1∥KQ，
而KQ⊂平面MNQ，PC1⊄平面MNQ
∴PC1∥面MNQ．（10分）
（3）∵Q为B1C1的中点，∴Q到平面AA1B1B的距离h等于CP的一半，故，
所以．（14分）