Question

已知函数f（x）=-x²+ax+lnx+b．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线方程为y=2，求a、b的值；
（Ⅱ）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b+1的下方？若能，请加以证明；若不能，请说明理由．

Answer

（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，得到切线的斜率为0，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出a与b的值；
（II）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，f（x）只有一个极大值，故它为最大值，欲使函数f（x）的图象总在直线y=b+1的下方，只需f（x）max＜b+1即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=-x2+ax+lnx+b
∴（2分）
∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=2，
∴，即，⇒（4分）
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=-x2+x+lnx+b，定义域为（0，+∞）（5分）
（6分）
令f′（x）=0，得x=1或（舍去）
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：
（8分）
∴f（x）在x=1处取极大值（9分）
又f（x）只有一个极大值，故它为最大值
∴f（x）max=f（1）=b（10分）
∵f（1）=b＜b+1，即f（x）max＜b+1
∴函数f（x）的图象总在直线y=b+1的下方（12分）