Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数），
（1）若a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜-2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围．

Answer

（1）由题设条件知，令f'（x）＞0，可得到f（x）的单调递增区间．
（2）由=0得．由此入手可推出当x=e时，f（x）min=a+e2．
（3）由f（x）≤（a+2）x知alnx+x2-（a+2）x≤0，设g（x）=alnx+x2-（a+2）x，据题意，当x∈[1，e]时，g（x）min≤0，．再通过分类讨论可知a的取值范围是[-1，+∞）．
【解析】
（1）a=-2，f（x）=-2lnx+x2，
∴，
令f'（x）＞0，由x＞0得x＞1，
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．（2分）
（2），
令f'（x）=0，由a＜-2，x＞0得（3分）
①当，即-2e2＜a＜-2时，f（x）在递减，在递增，
∴当时，．（5分）
②当，即a≤-2e2时，f（x）在[1，e]递减，
∴当x=e时，f（x）min=a+e2．（7分）
（3）f（x）≤（a+2）x化为：alnx+x2-（a+2）x≤0，
设g（x）=alnx+x2-（a+2）x，据题意，
当x∈[1，e]时，g（x）min≤0，，（9分）
（ⅰ）当即a≤2时，当x∈[1，e]时，g'（x）≥0，∴g（x）递增，
∴g（x）min=g（1）=-1-a≤0，∴a≥-1，
∴-1≤a≤2；（11分）
（ⅱ）当即2＜a＜2e时，g（x）在递减，递增，
∴，
∵，∴g（x）min＜0，
∴2＜a＜2e符合题意；（13分）
（ⅲ）当即a≥2e时，g（x）在[1，e]递减，
∴g（x）min=g（e）=a+e2-（a+2）e=（1-e）a+e2-2e≤2e（1-e）+e2-2e=-e2＜0，符合题意，（15分）
综上可得，a的取值范围是[-1，+∞）．（16分）